Selasa, 08 Januari 2013

Komunikasi Matematika dengan TTW

A. Komunikasi Matematika

1. Pengertian Komunikasi Matematika
Secara umum komunikasi dapat diartikan sebagai suatu peristiwa saling menyampaikan informasi dari komunikator kepada komunikan dalam suatu komunitas. Dalam matematika, berkomunikasi mencankup ketrampilan /kemampuan untuk membaca, menulis, menelaah dan merespon suatu informasi.
Dalam komunikasi matematika, siswa dilibatkan secara aktif untuk berbagi ide dengan siswa lain dalam mengerjakan soal-soal matematika. Sebagaimana dikatakan Syaban (2008) bahwa: “Komunikasi matematika merupakan refleksi pemahaman matematik dan merupakan bagian dari daya matematik. Siswa-siswa mempelajari matematika seakan-akan mereka berbicara dan menulis tentang apa yang mereka sedang kerjakan. Mereka dilibatkan secara aktif dalam mengerjakan matematika, ketika mereka diminta untuk memikirkan ide-ide mereka, atau berbicara dengan dan mendengarkan siswa lain, dalam berbagi ide, strategi dan solusi.”.
Jadi dalam pembelajaran matematika, ketika sebuah konsep informasi matematika diberikan oleh seorang guru kepada siswa ataupun siswa dilibatkan secara aktif dalam mengerjakan matematika, memikirkan ide-ide mereka, menulis, atau berbicara dengan dan mendengarkan siswa lain, dalam berbagi ide, maka saat itu sedang terjadi transformasi informasi matematika dari komunikator kepada komunikan, atau sedang terjadi komunikasi matematika.

2. Pentingnya Komunikasi dalam pembelajaran matematika.
Komunikasi dalam pembelajaran matematika adalah penting. Komunikasi dalam matematika menolong guru memahami kemampuan siswa dalam menginterpretasi dan mengekspresikan pemahamannya tentang konsep dan proses matematika yang mereka pelajari. Sebagaimana dikatakan Peressini dan Bassett (NCTM,1966) bahwa tanpa komunikasi dalam matematika kita akan memiliki sedikit keterangan, data, dan fakta tentang pemahaman siswa dalam melakukan proses dan aplikasi matematika. Dalam bagian lain, Lindquist (NCTM, 1996) berpendapat, “Jika kita sepakat bahwa matematika itu merupakan suatu bahasa dan bahasa tersebut sebagai bahasan terbaik dalam komunitasnya, maka mudah dipahami bahwa komunikasi merupakan esensi dari mengajar, belajar, dan meng-assess matematika”.Jadi jelaslah bahwa komunikasi dalam matematika merupakan kemampuan mendasar yang harus dimiliki pelaku dan pengguna matematika selama belajar, mengajar, dan meng-assess matematika.

3. Indikator Komunikasi Matematika.
Untuk melihat kemampuan komunikasi matematika siswa dalam pembelajaran matematika.dapat dilihat dari indikator-indikator kemampuan komunikasi dalam matematika. Banyak pendapat yang mengemukakan tentang indikator-indikator komunikasi matematika. Misalnya, Indikator kemampuan komunikasi matematika yang diungkapkan oleh Sumarmo (2003) komunikasi matematis meliputi kemampuan siswa: (1) menghubungkan benda nyata, gambar, dan diagram ke dalam idea matematika; (2) menjelaskan idea, situasi dan relasi matematik secara lisan atau tulisan dengan benda nyata, gambar, grafik dan aljabar; (3) menyatakan peristiwa sehari-hari dalam bahasa atau simbul matematika; (4) mendengarkan, berdiskusi, dan menulis tentang matematika; (5) membaca dengan pemahaman atau presentasi matematika tertulis; (6) membuat konjektur, menyusun argument, merumuskan definisi dan generalisasi; (7) menjelaskan dan membuat pertanyaan tentang matematika yang telah dipelajari.
Sedangkan indikator komunikasi matematis menurut NCTM (1989 : 214) antara lain:
a. Kemampuan mengekspresikan ide-ide matematis melalui lisan, tulisan, dan mendemonstrasikannya serta menggambarkannya secara visual;
b. Kemampuan memahami, mengiterpretasikan, dan mengevaluasi ide-ide matematis baik secara lisan, tulisan, maupun dalam bentuk visual lainnya;
c. Kemampuan dalam menggunakan istilah-istilah, notasi-notasi matematika dan struktur-strukturnya untuk menyajikan ide-ide, menggambarkan hubungan-hubungan dengan model-model situasi.

4. Aspek-Aspek Komunikasi Matematika
Baroody (Ansari: 2003) mengatakan bahwa pembelajaran harus dapat membantu siswa mengkomunikasikan ide matematika melalui lima aspek komunikasi yaitu representing (refresentasi),listening (mendengar), reading (membaca), discussing (diskusi) dan writing (menulis).

a. Representing (refresentasi)
Refresentasi adalah: (1) bentuk baru sebagai hasil translasi dari suatu masalah atau ide, (2) translasi suatu diagram atau model fisik ke dalam simbol atau kata-kata (NCTM, 1989: 26). Misalnya, refresentasi bentuk perbandingan ke dalam beberapa model kongkrit, dan refresentasi suatu diagram ke dalam bentuk simbol atau kata-kata. Refresentasi dapat membantu anak menjelaskan konsep atau ide, dan memudahkan anak mendapatkan strategipemecahan masalah (Ansari,2003:21)

b. Listening (mendengar)
Mendengar merupakan aspek penting dalam suatu komunikasi. Seseorang tidak akan memahami suatu informasi dengan baik apabila tidak mendengar yang diinformasikan. Dalam kegiatan pembelajaran mendengar merupakan aspek penting. Ansari (2003: 23) mengatakan bahwa mendengar merupakan aspek penting dalam komunikasi. Siswa tidak akan mampu berkomentar dengan baik apabila tidak mampu mengambil inti sari dari suatu topik diskusi. Siswa sebaiknya mendengar dengan hati-hati manakala ada pertanyaan dan komentar teman-temannya. Baroody ( Ansari, 2003: 23) mengatakan bahwa mendengar secara hati-hati terhadap pertanyaan teman dalam suatu grup juga dapat membantu siswa mengkonstruksi lebih lengkap pengetahuan matematika dan mengatur strategi jawaban yang lebih efektif. Pentingnya mendengar juga dapat mendorong siswa berfikir tentang jawaban pertanyaan.

c. Reading (membaca)

Salah satu bentuk komunikasi matematika adalah kegiatan membaca matematika. Membaca matematika memiliki peran sentral dalam pembelajaran matematika. Sebab, kegiatan membaca mendorong siswa belajar bermakna secara aktif. Istilah membaca diartikan sebagai serangkaian keterampilan untuk menyusun intisari informasi dari suatu teks.
Kemampuan mengemukakan idea matematika dari suatu teks, baik dalam bentuk lisan maupun tulisan merupakan bagian penting dari standar komunikasi matematika yang perlu dimiliki siswa. Sebab, seorang pembaca dikatakan memahami teks tersebut secara bermakna apabila ia dapat mengemukakan idea dalam teks secara benar dalam bahasanya sendiri. Karena itu, untuk memeriksa apakah siswa telah memiliki kemampuan mambaca teks matematika secara bermakna, maka dapat diestimasi melalui kemampuan siswa menyampaikan secara lisan atau menuliskan kembali idea matematika dengan bahasanya sendiri.

d. Discussing (diskusi)
Salah satu wahana berkomunikasi adalah diskusi. Dalam diskusi akan terjadi transfer informasi antar komunikan, antar anggota kelompok diskusi tersebut. Diskusi merupakan lanjutan dari membaca dan mendengar. Siswa akan mampu menjadi peserta diskusi yang baik, dapat berperan aktif dalam diskusi, dapat mengungkapkan apa yang ada dalam pikirannya apabila mempunyai kemampuan membaca, mendengar dan mempunyai keberanian memadai. Diskusi dapat menguntungkan, melalui diskusi siswa dapat memberikan wawasan baru bagi pesertanya, juga diskusi dapat menananmkan dan meningkatkan cara berfikir kritis.
Beberapa kelebihan dari diskusi kelas menurut Baroody (Ansari, 2003:25) antara lain:
1) Dapat mempercepat pemahaman materi pembelajaran dan kemahiran menggunakan strategi.
2) membantu siswa menkonstruk pemahaman matematik.
3) menginformasikan bahwa para ahli matematika biasanya tidak memecahkan masalah sendiri-sendiri, tetapi membangun ide bersama pakar lainnya dalam suatu tim.
4) Membantu siswa menganalisis dan memcahkan masalah secara bijaksana.

e. Writing (menulis).
Salah satu kemampuan yang berkontribusi terhadap kemampuan komunikasi matematika adalah menulis. Dengan menulis siswa dapat mengungkapkan atau merefleksikan pikirannya lewat tulisan ( dituangkan di atas kertas/alat tulis lainnya). Dengan menulis siswa secara aktif membangun hubungan antara yang ia pelajari dengan apa yang sudah ia ketahui.
Ada lima langkah yang harus dilakukan siswa agar tulisan/pekerjaan siswa bermutu, sebagaimana dikatakan Shield (Ansari, 2003:32) yaitu :
1) Tuliskan solusi kamu agar pembaca tahu tidak ada masalah dengan masalah
2) Tunjukkan semua pekerjaan matematikakamu, termasuk perhitungannya
3) Organisasikan semua pekerjaan kamu ke dalam langkah-langkah penyelesaian atau dengan berbagai cara seperti diagram, grafik, tabel yang mudah dibaca dan ditindak lanjuti
4) Koreksi pekerjaan kamu sehingga kamu yakin sehingga kamu yakin tidak ada kata yang penting atau perhitungan yang tertinggal
5) Yakinlah bahwa pekerjaan kamu terbaik, dapat dimengerti dan asli.

Merujuk uraian-uraian diatas, kemampuan siwa dalam refresentasi, mendengar, membaca, diskusi dan menulis dapat membantu siswa untuk memperjelas pemikiran mereka dan dapat mempertajam kemampuan kuminikasi matematikanya.

B. Strategi Think-Talk-Write

1. Pengertian Strategi Think-Talk-Write Dalam Pembelajaran matematika
Strategi think-talk-write (TTW) dalam pelajaran matematika adalah suatu strategi pembelajaran matematika yang pada dasarnya dibangun melalui berpikir, berbicara, dan menulis. Secara garis besar alur strategi TTW dalam pelajaran matematika dimulai dari keterlibatan siswa dalam berpikir atau berdialog dengan dirinya sendiri setelah proses membaca masalah/soal matematika (think), selanjutnya berbicara dan membagi ide (sharing) dengan temannya (talk) untuk menyelesaikan masalah/soal matematika tersebut, lebih efektif jika dilakukan dalam kelompok heterogen dengan 4-6 orang. Dalam kelompok ini siswa diminta membaca, membuat catatan kecil, menjelaskan, mendengar dan membagi ide bersama teman. Kemudian mengungkapkan/menuliskan kembali hasil diskusi melalui tulisan (write)

2. Penerapan Strategi Think-Talk-Write Dalam Pembelajaran Matematika
Pembelajaran matematika melalui strategi Think-Talk-Write diawali dengan bagaimana siswa memikirkan penyelesaian suatu masalah/soal matematika yang diberikan oleh guru kemudian diikuti dengan mengkomunikasikan hasil pemikirannya melalui diskusi kelompok yang akhirnya dapat menuliskan kembali hasil pemikirannya tersebut. Hal ini sesuai dengan esensi strategi Think-Talk-Write yang diungkapkan oleh Ansari (2003:7) yaitu mengedepankan perlunya siswa mengkomunikasikan hasil pemikiran matematikanya terhadap masalah yang diberikan guru.
Aktivitas berfikiran (think) dapat dilihat dari proses membaca suatu teks matematika atau berisi masalah/soal cerita matematika kemudian memikirkan penyelesaian dari masalah tersebut.
Setelah tahap “think” selesai dilanjutkan dengan tahap berikutnya “talk” yaitu berkomunikasi dengan menggunakan kata-kata dan bahasa yang mereka pahami. Pentingnya tahap ini dalam pembelajaran matematika, sebagaimana yang diungkapkan Ansari ( 2003:37), antara lain karena :
1) Apakah itu tulisan, gambaran, isyarat, atau percakapan merupakan perantara ungkapan matematika sebagai bahasa manusia. Matematika adalah bahasa yang spesial dibentuk untuk mengkomunikasikan bahasa sehari-hari.
2) Pemahaman matematik dibangun melalui interaksi dan konversasi (percakapan) antara sesama individual yang merupakan aktivitas sosial yang bermakna.
3) Cara utama partisipasi komunikasi dalam matematika adalah melalui talk. Siswa menggunakan bahasa untuk menyajikan ide kepada temannya, membangun teori bersama, sharing strategi solusi, dan embuat definisi.
4) Pembentukan ide (forming ideas) melalui proses talking. Dalam proses ini, pikiran seringkali dirumuskan, diklarifikasi atau direvisi.
5) Internalisas ide (internalizing ideas). Dalam proses konversasi matematika internalisasi dibentuk melalui berpikir dan memecahkan masalah. Siswa mungkin mengadopsi strategi yang lain, mereka mungkin belajar frase-frase yang dapat embantu mereka mengarahkan pekerjaannya.
6) meningkatkan dan menilai kualitas berfikir. Talking membantu guru mengetahui tingkat pemahaman siswa dalam belajar matematika, sehingga dapat mempersiapkan perlengkapan pembelajaran yang dibutuhkan.

Selanjutnya tahap berbicara/berkomunikasi (talk). Pada strategi ini memungkinkan siswa utuk terampil berbicara (komunikasi secara lisan)., yakni berkomunikasi dengan menggunakan bahasa yang mereka pahami. Siswa menggunakan bahasa untuk menyajikan ide kepada temannya, membangun teori bersama, berbagi strategi solusi, dan membuat definisi.
Selanjutnya tahap “write” yaitu menuliskan hasil diskusi/dialog pada lembar kerja yang disediakan (Lembar Aktivitas Siswa). Aktivitas siswa selama tahap ini adalah (1) menulis solusi terhadap masalah/pertanyaan yang diberikan termasuk perhitungan, (2) mengorganisasikan semua pekerjaan langkah-demi-langkah. Baik penyelesaiannya ada yang menggunakan diagram, grafik, ataupun tabel agar mudah dibaca dan ditindaklanjuti, (3) Mengoreksi semua pekerjaan sehingga yakin tidak ada pekerjaan ataupun perhitungan yang ketinggalan, (4) meyakini bahwa pekerjaannya yang terbaik yaitu lengkap, mudah dibaca dan terjamin keasliannya.
Berdasarkan uraian diatas secara sederhana dapat disarikan langkah-langkah pembelajaran matematika dengan strategi think-talk-wrute (TTW) adalah sebagai berikut::
1) Guru membagikan teks bacaan berupa Lembaran Kerja Siswa yang memuat masalah/ soal matematika dan petunjuk pelaksanaannya.
2) Siswa membaca teks dan membuat catatan dari hasil bacaan secara individual (think), untuk dibawa ke forum diskusi.
3) Siswa berinteraksi dan berkolaborasi dengan teman satu grup untuk membahas isi catatan (talk). Guru berperan sebagai mediator lingkungan belajar.
4) Siswa mengkolaborasi sendiri pengetahuan yang memuat komunikasi matematik (write).

3. Hubungan Strategi Think-Talk-Write dengan Komunikasi Matematika
Suatu strategi pembelajaran yang diharapkan dapat menumbuhkembangkan kemampuan pemahaman dan komunikasi matematik siswa adalah strategi think-talk-write (TTW). Menurut beberapa hasil penelitian strategi Think-Talk-Write merupakan salah stau strategi pembelajaran yang dapat digunakan untuk meningkatkan kemampuan komunikasi matematik siswa. Huinker (1996:81) menyebutkan bahwa berfikir (think) dan bicara (talk) merupakan suatu langkah yang penting bagi siswa dalam proses membawa mereka ke tahap menulir (write).
Strategi think -talk-write (TTW) sangat mendukung dalam upaya peningkatan kemampuan komunikasi matematik siswa. Dalam hal ini Ansari (2003:7) mengemukakan bahwa esensi dari Think-Talk-Write adalah mengedepankan perlunya siswa mengkomunikasikan atau menjelaskan hasil pemikirannya mengenai masalah yang diberikan oleh guru.
Hal lain yang dapat menunjukan hubungan antara strategi Think-Talk-Write dengan komunikasi matematik adalah bahwa diantara faktor-faktor yang berkaitan dengan kemampuan komunikasi matematika adalah diskusi (bicara) dan menulis (Ansari, 2003:28). Selain itu aspek dari komunikasi, bahwa pembelajaran dapat membantu siswa untuk mengkomunikasikan ide-ide matematis dengan mempresentasi, mendengar, membaca berdiskusi dan menulis.
Berdasarkan uraian diatas mengenai peranan dan keutamaan think-talk-write serta tugas-tugas yag dilakukan siswa dalam menggunakan strategi ini, diharapkan bahwa pembelajaran dengan strategi think-talk-write dapat menumbuhkan kemampuan komunikasi matematik.

C. Teori Belajar yang Melandasi Strategi Think-Talk-Write
Pembelajaran matematika melalui strategi Think-Talk-Write mengutamakan peran aktif siswa untuk membangun pemahaman dan mengembangkan kemampuan komunikasi matematiknya secara mandiri. Prinsip tersebut sejalan dengan prinsip dasar kontruktivisme. Suparno (1996:73) menyebutkan prinsip kontruktivisme yaitu :
a. Pengetahuan dibangun oleh siswa secara aktif.
b. Tekanan dalam proses belajar terletak pada siswa.
c. Mengajar adalah membantu siswa belajar.
d. Tekanan dalam belajar lebih pada proses bukan pada akhir.
e. Kurikulum menekankan partisipasi siswa.
f. Guru adalah fasilitator.

Dengan demikian, proses pembelajaran merupakan suatu proses aktif siwa yang sedang belajar untuk membangun pengetahuannya sendiri. Sedangkan guru berperan menyediakan kondisi belajar yang mendukung proses kontruksi pengetahuan pada diri siswa yang diantaranya adalah memikirkan beberapa kegiatan dan aktifitas yang dapat merangsang siswa berfikir, memberi kesempatan siswa untuk berdiskusi sehingga interaksi siswa di dalam kelas dapat hidup, serta memberi kebebasan kepada siswa untuk mengungkapkan gagasan den pemikiran mereka.
Selanjutnya, teori atau pandangan yang sangat tekenal dengan teori belajar kontruktivisme adalah teori perkembangan mental Piaget. Teori belajar tersebut berkenaan dengan kesiapan anak untuk belajar, yang dikemas dalam tahap perkembangan intelektual dari lahir sampai dewasa. Piaget yang terkenal sebagai kontruktivisme pertama (Dahar, 1989:59) menegaskan bahwa pengetahuan dibangun dalam pikiran anak melalui asimilasi dan akomodasi. Asimilasi adalah penyerapan informasi baru dalam pikiran. Sedangkan akomodasi adalah proses mental membentuk skema baru yang cocok dengan rangsangan baru atau memodifikasi skema yang sudah ada sehingga cocok dengan rangsangan itu (Suparno, 1996:7)
Lebih jauh Piaget mengemukakan bahwa pengetahuan tidak diperoleh secara prinsip oleh seseorang, melainkan melalui tindakan. Bahkan perkembangan kognitif anakn bergantung pada seberapa jauh mereka aktif memanipulasi dan berinteraksi dengan lingkungannya.
Berkaitan dengan anak dan lingkungan belajarnya menurut pandangan kontruktivisme, Driver dan Bell (Hamzah, 2004) mengajukan karakteristik sebagai berikut : (1) siswa tidak dipandang sebagai sesuatu yang pasif melainkan memiliki tujuan, (2) belajar mempertimbangkan seoptimal mungkin proses keterlibatan siswa, (3) pengetahuan bukan sesuatu yang datang dari luar melalinkan dikonstruksi secara personal, (4) pembelajaran bukanlah transmisi pengetahuan, melainkan melibatkan pengaturan situasi kelas, (5) kurikulum bukanlah sekedar dipelajari, melainkan seperangkat pembelajaran, materi, dan sumber.
Selain teori belajar kontruktivisme dari Piaget, teori lain yang mendasari pembelajaran matematika melalui strategi Think-Talk-Writei adalah teori belajar penemuan dari Bruner, dengan dalil utamanya sebagai berikut (Russefendi, 1988:151):
1). Dalil penyusunan, cara paling baik bagi anak untuk belajar matematika ialah melakukan penyusunan representasinya.
1) Dalil notasi, penggunaan notasi yang sesuai dengan perkembangan mental siswa.
2) Dalil pengkontrasan dan keanekaragaman, suatu konsep akan lebih bermakna jika dikontraskan dengan konsep-konsep lain dan disajikan dengan beraneka ragam contoh.
3) Dalil pengaitan, agar siswa dalam belajar matematika lebih berhasil siswa harus diberi kesempatan lebih banyak untuk melihat kaitan-kaitan baik itu kaitan antar konsep, antar teori, antar topik ataupun antar cabang matematika.

Jadi menurut teori kontruktivisme maupun teori belajar penemuan, belajar adalah keterlibatan anak secra aktif membangun pengetahuannya melalui berbagai jalur, seperti membaca, berfikir, mendengar, berdiskusi, mengamati dan melakukan eksperimen terhadap lingkungan serta melaporkannya sangat sesuai dengan strategi belajar think-talk-write dimana guru dalam strategi ini berperan sebagai stimulation of learning yang benar-benar dapat membantu siswa dalam mengkonstruksi pengerathuan.

DAFTAR PUSTAKA

Ansari, Bansu I. 2003, Menumbuhkembangkan Kemampuan Pemahaman dan Kmunikasi Matematika Siswa SMU Melalui Strategi Think-Talk-Write, Disertasi, Bandung: UPI, Tidak dipublikasikan.

Kahmad, D., 2000, Metode Penelitian Agama, Jakarta : Pustaka Setia.

Dahar, R.W. , 1989, Teori-teori Belajar, Jakarta: Erlangga.

Cipta, Eliva S., 2006, Meningkatkan Kemampuan Komunikasi Matematika Siswa SMP Melalui Strategi Think Talk Write., Skripsi, Universitas Islam Negeri SGD, Bandung, Tidak dipublikasikan.

Hamzah, 2004.Pembelajaran Matematika Menurut Teori Belajar Kontruktivisme, http://www.depdiknas.go.id.

Syaban, M., 2008, Menumbuhkembangkan Daya Matematis Siswa, http://educare.e-fkipunla.net

NCTM, 1989. Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics. Reston, VA: Authur. http://educare.e-fkipunla.net

NCTM,1996, Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics, Virginia: NCTM Inc.,.

Russefendi, ET.,1988,Pengantar Kepada Guru Membantu Guru Mengembangkan Kompetensinya dalam Pengajaran Matematika untuk Meningkatkan CBSA, Bandung: Tarsito,.

Rusmiati ,Y., 2005, Pembelajaran Matematika Melalui Strategi Think Talk Write Dalam Upaya Meningkatkan Pemahaman Siswa Pada Pokok Bahasan Program Linear, Skripsi, UIN Bandung.

Minggu, 16 Desember 2012

Persamaan Diferensial

Persamaan Diferensial (PD) adalah persamaan yang memuat turunan-turunan / derivatif dari satu atau lebih peubah (variable) bebas terhadap satu atau lebih peubah tak bebas disebut.

Secara umum, PD dapat dibedakan (klasifikasi) menjadi 2, yaitu

PD Biasa (Ordinary Differential Equations), yaitu PD yang memuat 1 peubah bebas dan 1 peubah tak bebas. PD jenis ini dapat dirumuskan

$f(x,y,\frac{dy}{dx},\frac{d^2y}{dx^2},...,\frac{d^ny}{dx^n})=0$

Contoh :

Persamaan $\frac{dy}{dx}$ + xy = 0 dan $\frac{d^2y}{dx^2}$ + $\frac{dy}{dx}$ – xy = 0 adalah persamaan diferensial biasa karena variable tak bebas y hanya bergantung pada variable bebas x.

PD Parsial (Partial Differential Equations), yaitu PD yang memuat 1 peubah tak bebas dan lebih dari satu peubah bebas. PD jenis ini dengan dua peubah bebas dapat dirumuskan

$f(x,y,z,\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{dy},\frac{\partial^2 z}{\partial x^2},\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}, \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}...,\frac{\partial^n z}{\partial y^n})=0$

Contoh :

Persamaan $\frac{\partial z}{\partial y}$ + $\frac{\partial z}{\partial x}$ = 0 adalah persamaan diferensial parisial karena variable tak bebas z bergantung pada variable bebas x dan y.

Demikian juga dengan persamaan $\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}$ + $\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}$ + $\frac{\partial^2 v}{\partial z^2}$ = 0, karena variable tak bebas v bergantung pada variable bebas x, y dan z.

Selain klasifikasi PD di atas, suatu PD juga dapat dikelompokkan berdasarkan Tingkat (order) dan Derajat (degree). Tingkat suatu PD adalah tingkat tertinggi dari derivatif-derivatif didalamnya, sedangkan derajat suatu PD adalah derajat tertinggi dari derivatif tingkat tertinggi PD tersebut.

Contoh:

$\frac{d^4y}{dx^4}$ + 5 $\frac{d^2y}{dx^2}$ + 3y = sin x, PD tingkat 4, derajat 1

$\frac{d^2y}{dx^2}$ + xy $(\frac{dy}{dx^2})^2$ = 0, PD tingkat 2, derajat 1

$\frac{d^3y}{dt^2}$ + 3 $(\frac{d^2y}{dt^2})^5$ = 0, PD tingkat 3, derajat 1
$\frac{dy}{dx}$ – cos x = 0, PD tingkat 1, derajat 1
$\frac{d^2y}{dx^2}$ + 3 $\frac{dy}{dx}$ + 2y = 0, PD tingkat 2, derajat 1
xy’ + y = 3, PD tingkat 1, derajat 1
(x² + y²)dx – 2xydy = C, PD tingkat 1, derajat 1
y”’ + 2(y”)² + y’ = cos x, PD tingkat 3, derajat 1
$(\frac{d^2y}{dx^2})^3$ + $(\frac{dy}{dx})^4$ – x²y = sin x, PD tingkat 2, derajat 3
$\frac{d^2y}{dx^2}$ + 3 $\frac{dy}{dx}$ – 2y = 0, PD tingkat 2, derajat 1

Klasifikasi lainnya adalah berdasarkan Linear dan Nonlinear. Suatu PD biasa tingkat n disebut linear jika PD tersebut dapat ditulis ke dalam bentuk

a_n(x) $\frac{d^ny}{dx^n}$ + a_n-1(x) $\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}$ + … + a₁(x) $\frac{dy}{dx}$ + a(x)y = g(y)

Selain PD bentuk tersebut adalah PD nonlinier

NOTE :

notasi y’, y”, y”’, y⁽⁴⁾ …,y^(n-1), y⁽ⁿ⁾menyatakan berturut-turut adalah derivative pertama, kedua, ketiga, keempat, …, derivative ke-n dari variable tak bebas y terhadap suatu variable bebas.

selanjutnya bisa dilihat di www.iaincirebon.ac.id/tmtk

Secant Method

Metode Secant (Secant Method)

Ga berasa yah kawan kebersamaan kita menginjak tahun ke 4 di IAIN Syekh Nurjati Cirebon...Co Cweeet....besok mulai UAS Metode Numerik.

Yuup...nih materinya ahhh... :)

Gud Lak Kawan :)

Pada Metode Newton-Raphson memerlukan syarat wajib yaitu fungsi f(x) harus memiliki turunan f’(x). Sehingga syarat wajib ini dianggap sulit karena tidak semua fungsi bisa dengan mudah mencari turunannya. Oleh karena itu muncul ide dari yaitu mencari persamaan yang ekivalen dengan rumus turunan fungsi. Ide ini lebih dikenal dengan nama Metode Secant. Ide dari metode ini yaitu menggunakan gradien garis yang melalui titik (x, f(x)) dan (x₁, f(x₁)). Perhatikan gambar dibawah ini.

Persamaan garis l adalah

$\frac{x-x_1}{x_0-x_1}$ = $\frac{y-f(x_1)}{f(x_0)-f(x_1)}$

Karena x = x₂ maka y = 0, sehingga diperoleh

$\frac{x_2-x_1}{x_0-x_1}$ = $\frac{0-f(x_1)}{f(x_0)-f(x_1)}$

x₂ – x₁ = $-\frac{f(x_1)[x_0-x_1]}{f(x_0)-f(x_1)}$

x₂ = x₁ – $\frac{f(x_1)[x_0-x_1]}{f(x_0)-f(x_1)}$

= x₁ – $\frac{f(x_1)[x_1-x_0]}{f(x_1)-f(x_0)}$

secara umum rumus Metode Secant ini ditulis

x_n+1 = x_n – $\frac{f(x_n)[x_n-x_{n-1}]}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$

Prosedur Metode Secant :

Ambil dua titik awal, misal x dan x₁. Ingat bahwa pengambilan titik awal tidak disyaratkan alias pengambilan secara sebarang. Setelah itu hitung x₂ menggunakan rumus diatas. Kemudian pada iterasi selanjutnya ambil x₁ dan x₂ sebagai titik awal dan hitung x₃. Kemudian ambil x₂ dan x₃ sebagai titik awal dan hitung x₄. Begitu seterusnya sampai iterasi yang diingankan atau sampai mencapai error yang cukup kecil.

Contoh :

Tentukan salah satu akar dari 4x³ – 15x² + 17x – 6 = 0 menggunakan Metode Secant sampai 9 iterasi.

Penyelesaian :

f(x) = 4x³ – 15x² + 17x – 6

iterasi 1 :

ambil x = -1 dan x₁ = 3 (ngambil titik awal ini sebarang saja, tidak ada syarat apapun)

f(-1) = 4(-1)³ – 15(-1)² + 17(-1) – 6 = -42

f(3) = 4(3)³ – 15(3)² + 17(3) – 6 = 18

x₂ = (3) – $\frac{(18)[3-(-1)]}{18-(-42)}$ = 1.8

iterasi 2 :

ambil x₁ = 3 dan x₂ = 1.8

f(1.8) = 4(1.8)³ – 15(1.8)² + 17(1.8) – 6 = -0.672

x₃ = (1.8) – $\frac{(-0.672)[1.8-(3)]}{-0.672-18}$ = 1.84319

iterasi 3 :

ambil x₂ = 1.8 dan x₃ = 1.84319

f(1.84319) = 4(1.84319)³ – 15(1.84319)² + 17(1.84319) – 6 = -0.57817

x₄ = (1.84319) – $\frac{(-0.57817)[1.84319-1.8]}{-0.57817-(0.672)}$ = 2.10932

iterasi 4 :

ambil x₃ = 1.84319 dan x₄ = 2.10932

f(2.10932) = 4(2.10932)³ – 15(2.10932)² + 17(2.10932) – 6 = 0.65939

x₅ = (2.10932) – $\frac{(0.65939)[2.10932-1.84319]}{0.65939-(-0.57817)}$ = 1.96752

iterasi 5 :

ambil x₄ = 2.10932 dan x₅ = 1.96752

f(1.96752) = 4(1.96752)³ – 15(1.96752)² + 17(1.96752) – 6 = -0.15303

x₆ = (1.96752) – $\frac{(-0.15303)[1.96752-2.10932]}{-0.15303-0.65939)}$ = 1.99423

iterasi 6 :

ambil x₅ = 1.96752 dan x₆ = 1.99423

f(1.99423) = 4(1.99423)³ – 15(1.99423)² + 17(1.99423) – 6 = -0.02854

x₇ = (1.99423) – $\frac{(-0.02854)[1.99423-1.96752]}{-0.02854-(-0.15303)}$ = 2.00036

iterasi 7 :

ambil x₆ = 1.99423 dan x₇ = 2.00036

f(2.00036) = 4(2.00036)³ – 15(2.00036)² + 17(2.00036) – 6 = 0.00178

x₈ = (2.00036) – $\frac{(0.00178)[2.00036-1.99423]}{0.00178-(-0.02854)}$ = 2.00000

iterasi 8 :

ambil x₇ = 2.00036 dan x₈ = 1.999996

f(1.999996) = 4(1.999996)³ – 15(1.999996)² + 17(1.999996) – 6 = -0.0002

x₉ = (1.999996) – $\frac{(-0.0002)[1.999996-2.00036]}{-0.0002-0.00178}$ = 2.0000

iterasi 9 :

ambil x₈ = 1.999996 dan x₉ = 2.00000

f(2.00000) = 4(2.00000)³ – 15(2.00000)² + 17(2.00000) – 6 = 0.00000

x₁₀ = (2.00000) – $\frac{(0.00000)[2.00000-1.999996]}{0.00000-(-0.00002)}$ = 0.00000

n	x_n-1	x_n	x_n+1	f(x_n-1)	f(x_n)	f(x_n+1)
1 2 3 4 5 6 7 8 9	-1 3 1.8 1.84319 2.10932 1.96752 1.99423 2.00036 2.00000	3 1.8 1.84319 2.10932 1.96752 1.99423 2.00036 2.00000 2.00000	1.8 1.84319 2.10932 1.96752 1.99423 2.00036 2.00000 2.00000 2.00000	-42 18 -0.672 -0.57817 0.65939 -0.15303 -0.02854 0.00178 -0.00002	18 -0.672 -0.57817 0.65939 -0.15303 -0.02854 0.00178 -0.00002 0.00000	-0.672 -0.57817 0.65939 -0.15303 -0.02854 0.00178 -0.00002 0.00000 0.00000

Jadi salah satu akar dari 4x³ – 15x² + 17x – 6 = 0 adalah 2

selanjutnya bisa dilihat di www.iaincirebon.ac.id/tmtk

Newton Raphson

Metode Newton Raphson

Dalam analisis numerik, metode Newton (juga dikenal sebagai metode Newton-Raphson), yang mendapat nama dari Isaac Newton dan Joseph Raphson, merupakan metode yang paling dikenal untuk mencari hampiran terhadap akar fungsi riil. Metode Newton sering konvergen dengan cepat, terutama bila iterasi dimulai "cukup dekat" dengan akar yang diinginkan. Namun bila iterasi dimulai jauh dari akar yang dicari, metode ini dapat meleset tanpa peringatan. Implementasi metode ini biasanya mendeteksi dan mengatasi kegagalan konvergensi.

Diketahui fungsi ƒ(x) dan turunannya ƒ '(x), kita memulai dengan tebakan pertama, x₀ . Hampiran yang lebih baik x₁ adalah

$x_{1} = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}.\,\!$

Gagasan metode ini adalah sebagai berikut: kita memulai dengan tebakan awal yang cukup dekat terhadap akar yang sebenarnya, kemudian fungsi tersebut dihampiri dengan garis singgungnya (yang dapat dihitung dengan alat-alat kalkulus, dan kita dapat menghitung perpotongan garis ini dengan sumbu-x (yang dapat dilakukan dengan mudah menggunakan aljabar dasar). Perpotongan dengan sumbu-xini biasanya merupakan hampiran yang lebih baik ke akar fungsi daripada tebakan awal, dan metode ini dapat diiterasi.

Misalkan ƒ : [a, b] → R adalah fungsi terturunkan yang terdefinisi pada selang [a, b] dengan nilai merupakan bilangan riil R. Rumus untuk menghampiri akar dapat dengan mudah diturunkan. Misalkan kita memiliki hampiran mutakhir x_n. Maka kita dapat menurunkan hampiran yang lebih baik, x_n+1 dengan merujuk pada diagram di kanan. Kita tahu dari definisi turunan pada suatu titik bahwa itu adalah kemiringan garis singgung pada titik tersebut, yaitu:

$f'(x_{n}) = \frac{ \mathrm{rise} }{ \mathrm{run} } = \frac{ \mathrm{\Delta y} }{ \mathrm{\Delta x} } = \frac{ f( x_{n} ) - 0 }{ x_{n} - x_{n+1} }.\,\!$

Di sini, f ' melambangkan turunan fungsi f. Maka dengan aljabar sederhana kita mendapatkan

$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}. \,\!$

Kita memulai proses dengan nilai awal sembarang x₀. Metode ini biasanya akan mengerucut pada akar, dengan syarat tebakan awal cukup dekat pada akar tersebut, dan bahwa ƒ'(x₀) ≠ 0.

selanjutnya dapat dilihat lengkap di www.iaincirebon.ac.id/tmtk

Jumat, 14 Desember 2012

sinopsis

5 CM

Sipnosis Film 5 CM ini Merupakan 5 anak muda, Zafran, Riani, Arial, Genta, dan Ian yang terikat dalam jalinan erat persahabatan. Dan kelimanya jenuh dengan rutinitas pertemanan mereka selama ini.
Setelah selama sepuluh tahun tak satu malam minggu pun yang tak dilewatkan bersama. Tak satu pun dari mereka pernah melewatkan berbagai momen kebahagiaan yang tengah dirasakan satu dan yang lainnya. Dari sering nongkrong bareng hingga merayakan wisuda.
Suatu ketika Genta, mengusulkan agar ia dan masing-masing dari mereka berhenti untuk saling berkomunikasi selama tiga bulan. Tujuannya cuma satu, yakni menghidupkan kembali ikatan ia dan keempat sahabatnya dalam jalinan pertemanan yang telah lama mereka bina.
Tiga bulan berlalu saling menahan rindu, Genta pun menyiapkan kejutan yang ia janjikan akan menjadi pengalaman tak terlupakan seumur hidup bagi ia dan empat sahabatnya. Yakni mendaki ke puncak Mahameru di Gunung Semeru.
Perjalanan selama tiga hari ke puncak tertinggi di Pulau Jawa itu pun membuka cerita yang tersimpan di diri lima anak muda ini. Tentang impian-impian yang mereka miliki, cita-cita yang mereka ingin capai. Termasuk cinta yang selama ini sengaja Genta tutupi kepada Riani karena takut akan merubah persahabatan mereka semua jika Genta mengungkapkan perasaannya.
Rizal Mantovani selaku sutradara secara ringkas memvisualkan cerita lima sahabat ini dari novel best seller karya Donny Dhirgantoro tersebut. Meski beberapa bagian cerita novelnya ada yang sengaja dipotong, namun tanpa menghilangkan pesan semangat dari novel setebal 381 halaman tersebut, kisah Film 5 Cm mengalir efektif dalam film berdurasi 90 menit.
Lantas, bagaimana akhir kisah ke lima sahabat ini ketika mendaki Mahameru? Apakah Genta dan Riani dapat bersatu? saksikasan saja di bioskop kesayangan anda.
CAST & CREW
Sutradara : Rizal Mantovani
Produser : Sunil Soraya
Penulis Naskah : Donny Dhirgantoro
Pemain :
Herjunot Ali, Raline Shah, Fedi Nuril, Pevita Pearce, Igor Saykoji, Denny Sumargo

ahhh....jadi pengen nonton tapi sayyoooong sekali tak ada yang bisa digebet buat share ini,hahahhaa

Kamis, 13 Desember 2012

Logis??

Kritis??

Atau Kreatif??

Awalnya sih memang biasa terlebih aku terbiasa keluar masuk ruangan ini. Lantas tanpa malu aku menerobos kerumunan para brondong-brondong SMK ini. Halaaah…rasanya biasa saja terlebih sekian dari mereka sudah tau siapa diriku.

(duduk dan nyaris melongo kaya orang bego ditinggal) “ahhh….bete sekali disini, mataku tertuju ke penjuru ruangan ini sembari mencari-cari dimana seh mbak-ku”.

Cukup lama memang dan aku sesekali membuka sms dan berselancar jejaring social via handphone.

*****

Assalamu’alaikum….(sembari menyodorkan tangan)

Wa’alaikumsalam….(aku pun segera menggapai salam hangatnya sembari memberi penghormatan jabat tangannya)

“neli??”

“iya pak, neli !”

(hahha…belagak bego aja kaga ngarti dan memang ga ngerti kondisi ini)

“mahasiswi semester 7 IAIN CRB, sedang garap skripsi dan selalu tembus ********,uda blablalblaaaaa…..”

(bingung…..mlongo nih orang tingkat naga tau gue getto >>kopproool ahhh<<,hahhahaha)

“tenang neng, bapak tau banyak dari mbak-mu”

“oiya pak…” (ting..ting sembari pamer senyum gigi pepsodent)

“mau banyak sharing neh neng, yah mengenai matematika tentunya.”

“oh yah…dengan senang hati pak, insyaAllah!”

Obral-obrol…eh ternyata eh ternyata beliau adalah husband dari guru SMA ku dulu…ujung-ujungnya beliau bikin diriku shock theraphy dengan soal pembuktian yang bikin wow getto….tolong kategorikan ini masuk dalam bahasan kritis…kreatif…atau logis…

“tenang neng…ini soal SD yah SMP tapi soal olimpiade yang sering bapak buat!”

Gubraaakkk…tepuk jidat sembari bisik-bisik ke nih hate…modus…modus…gilaaa soal olimpiade wahwah…nguji gue nih orang,hahaaa

Bukan Neliyana namanya kalo tak bisa berdalih,hahahaha…

Sempet adu opini dengannya…dan ini tak bisa ku hindari mungkin efek dari kengototanku untuk nilai sebuah sudut…hanya sudut ini jadi masalah????hahhahaaa

Coba neng neli bayangkan bagaimana komponen 3 kemampuan berpikir yang dikenal dalam matematika : kreatif, kritis dan logis.

Mana yang menjadi induk dari thingking???

Apakah iya berpikir logis itu yang kini di perlukan??

Cukup lama memang sharing masalah ini sampai-sampai ku tak sadar tembakan ramboo mendarat dari mulutku,alias ngoceh…padahal jelas-jelas lawan bicara lebih W-O-W. hahhaha

Beliau bilang, bapak sangat suka dengan gaya argument neng, [ihiiiy dipanggil neng neli pemirsaaah ]

****

Lah yang mau tau nih soalnya kaya gini nih diantaranya:

Tolong buatin 3 segi empat trus coba neli susun dari yang terkecil ke yang terbesar dengan formasi bersusun. Ukurannya bisa 3 petak, 4 petak dan 5 petak..

Nih gambar yang ku buat…hahhaha

Kalo udah tarik garis…

Jadinya gini ta kerjain tuh.

Selanjutnya coba buktin kalo sudut ABC itu siku-siku atau bukan???

Apakah sama besar sudut AEB dengan sudut ABC???

Kalo iyaaaa coba buktiin…

Lalu berapa luasnya???

Hahahhaa…..ujung2nya terakhir beliau bilang, U're GOOD.

Itu adalah salah satu tesis beliau yang ke pending…gubraaaak…tepok jidat

Oke pak, aku siap koq sharing lagi,

Hayuuu laaah…yg mau iseng jawab juga monggo mawon

Mau soal selanjutnya…ditunggu, hahahha…

Perjuangan, 5 desember 2012

wonder makna

Laman