NUMERIK: Bisection

Pengertian Metode Bisection

Metode bisection atau metode bagi dua membagi interval ( antara x₁ dan x₂  pada suatu fungsi f(x) )  dimana diperkirakan terdapat sebuah akar, menjadi 2 subinterval yang sama besar. Akar tersebut dicari dalam salah satu subinterval dan interval tidak boleh terlalu lebar.

B. Alogaritma Metode Biection

Langkah 1 :

Pilih taksiran nilai a sebagai batas bawah interval dan taksiran nilai b sebagai batas atas interval. Jika terpenuhi kondisi :

• f(a) x f(b) < 0  ; maka ada akar dalam interval, selanjutnya ke langkah 2.
• f(a) x f(b) > 0  ; maka tidak ada akar dalam interval. Geser posisi interval. 
• f(a) x f(b) = 0  ; maka a  dan b, salah satu merupakan akar.

Langkah 2 :

Taksiran akar yang pertama c  dimana, c = (a + b )/2

Langkah 3 :

Evaluasi keberadaan akar, apakah dalam subinterval pertama (antara a dan c ) atau dalam subinterval kedua (antara c dan b). Jika diperoleh :

• f(a) x f(c) < 0  ; akar berada dalam subinterval pertama, maka b = c. selanjutnya ke langkah 4.
• f(a) x  f(c) > 0  ; akar berada dalam subinterval ke dua, maka a = c. Selanjutnya ke langkah 4. 
• f(a) x  f(c) = 0  ; c adalah  akar.

Langkah 4 :

Kembali ke langkah 2 dan proses hingga langkah 3.

C. Program Matlab 6.5

Dengan bantuan komputer, langkah-langkah metode numeric dari alogaritma diformulasikan menjadi suatu program. Berikut ini adalah program MATLAB  mencari akar-akar persamaan  dengan metode Bisection :

D. Uji Program

1.      Program akan diuji untuk persamaan  f(x) = x² – x – 6 = 0

a. Cara analitik (pemaktoran) :

     x² - x – 6 = 0

    (x + 2) (x – 3) = 0

    x₁ = -2  atau  x ₂ = 3

jadi secara analitik/ pemaktoran diperoleh akar  x₁ = -2  atau  x ₂ = 3

b. Mencari akar secara numerik dengan Metode Bisection dengan  Program Matlab 6.5      

Petunjuk :

1.      Ketik nama file syahwil5 pada jendela command window,

2.      Masukkan persamaan (huruf x kecil) = x^2-x-6

3.      Masukkan batas bawah a = -3

4.      Masukkan batas atas b = 2

Perhatikan output program, seperti gambar berikut

   

dari hasil keluaran program terlihat bahwa salah satu akar persamaan diatas adalah -2, untuk mengetahui akar yang lain masukkan nilai batas ats dan batas bawah yang lain.

2.    Hasil keluaran program benar, maka akan diuji lagi untuk persamaan  berikut :

a.       f(x) = x³ – x – 6 = 0

b.      f(x) = x^2.5 – x – 6 = 0

Uji program :

a. Akar Persamaan f(x) = x³ – x – 6 = 0

   Petunjuk :

1.   Ketik nama file syahwil5 pada jendela command window,

2.      Masukkan persamaan (huruf x kecil): x^3-x-6

3.      Masukkan batas bawah a = -1

4.      Masukkan batas atas b = 3

5.      Perhatikan output program, seperti gambar berikut

a.      Output program akar persamaan f(x) = x³ – x – 6 = 0

  keluaran program terlihat akar persamaannya adalah 2

b. Output program akar persamaan f(x) = x^2.5 – x – 6 = 0

akar persamaannya adalah 2,33

D. Ciri-ciri penyelesaian Numerik bila dibanding dengan penyelesaian Analitik yaitu :   

1.      Adanya proses perhitungan yang berulang-ulang (iteratif).

2.      Memerlukan alat bantu komputer.

3.      Memerlukan pemodelan matematis dari situasi yang nyata.

4.      Penyediaan input dan data yang cukup bagi pemodelan.

5.      Pembuatan algoritma dan penulisan program.

6.      Jawaban-jawaban yang diperoleh berupa jawaban (nilai) pendekatan, sehingga memiliki tingkat kesalahan/error (namun mempunyai tingkat ketelitian yang bisa diterima/valid) 

Metode Biseksi

Teori singkat

Metode biseksi ini membagi range menjadi 2 bagian, dari dua bagian ini dipilih bagian mana yang mengandung dan bagian yang tdk mengandung akar dibuang. Hal ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan.

Untuk menggunakan metode biseksi, tentukan batas bawah(a) dan batas atas(b). Kemudian dihitung nilai tengah: c = (a+b)/2. Dari nilai c ini perlu dilakukan pengecekan keberadaan akar :f(a) . f(b) < 0, maka b=c, f(b)=f(c), a tetap f(a) . f(b) > 0, maka a=c, f(a)=f(c), b tetap. Setelah diketahui dibagian mana terdapat akar, maka batas bawah & batas atas di perbaharui sesuai dengan range dari bagian yg mempunyai akar.

Proses penentuan interval baru

Interval baru dibagi dua lagi dengan cara yang sama. Begitu seterusnya sampai ukuran interval yang baru sudah sangat kecil dan hal ini tentu saja sesuai dengan toleransi kesalahan yang diberikan. Kriteria berhentinya iterasi dapat dipilih dari salah satu tiga kriteria di bawah ini,

1. Lebar interval baru: − < ε r r a b , yang dalam hal ini ε adalah nilai toleransi lebar interval yang mengapit akar eksak.

2. Nilai fungsi di akar hampiran: f (c) ≈ 0

3. Galat relatif hampiran akar: , dalam hal ini δ adalah galat relatif hampiran yang diinginkan.

AlgoritmaMetodeBiseksi:

1.Definisikan fungsi f(x)yang akan dicari akarnya

2.Tentukan nilai a dan b

3.Tentukantorelansie daniterasimaksimumN

4.Hitung f(a) dan f(b)

5.Jika f(a).f(b)> maka proses dihentikan karena tidak ada akar, bila tidak dilanjutkan

6.Hitung c= Hitung f(c)

7.Bila f(c).f(a)<0maka b=c dan f(b)=f(c), bila tidak a=x dan f(a)=f(c)

8. Jikab-a<e atau iterasi>iterasimaksimum maka proses dihentikan dan didapatkan akar= c, dan bila tidak, ulangi langkah6.

Metode biseksi dengan tolerasi error 0.001 dibutuhkan10 iterasi, semakin teliti (kecil toleransi errornya) maka semakin besar jumlah iterasinya.

selanjutnya bisa dilihat jauh di www.iaincirebon.ac.id